Question

10．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓E和拋物線y²=$\frac{9}{4}$x交于M，N兩點，且直線MN恰好通過橢圓E的右焦點F₂．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）已知橢圓E的左焦點為F₁，左、右頂點分別為A，B，經(jīng)過點F₁的直線l與橢圓E交于C，D兩點，記△ABD與△ABC的面積分別為S₁，S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）不妨設M$（c，\frac{^{2}}{a}）$，則$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}\sqrt{c}$，又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得橢圓E的標準方程．
（2）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-1．此時D$（-1，\frac{3}{2}）$，C$（-1，-\frac{3}{2}）$，△ABD與△ABC的面積相等．則|S₁-S₂|=0．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1）．（k≠0），設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），y₁y₂＜0．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₂+y₁|=2|k（x₁+x₂）+2k|=$\frac{12|k|}{3+4{k}^{2}}$．利用基本不等式的性質(zhì)即可堵車．

解答 解：（1）不妨設M$（c，\frac{^{2}}{a}）$，則$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}\sqrt{c}$，又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓E的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-1．此時D$（-1，\frac{3}{2}）$，C$（-1，-\frac{3}{2}）$，△ABD與△ABC的面積相等．
則|S₁-S₂|=0．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1）．（k≠0），設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），y₁y₂＜0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，△＞0，x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
△ABD與△ABC的面積相等．
則|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₂+y₁|=2|k（x₁+x₂）+2k|=$\frac{12|k|}{3+4{k}^{2}}$．
k≠0時，$\frac{12|k|}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{12}{\frac{3}{|k|}+4|k|}$≤$\frac{12}{2\sqrt{3×4}}$=$\sqrt{3}$．當且僅當k=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$時取等號，
∴|S₁-S₂|的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、基本不等式的性質(zhì)、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．