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1.已知定義在R上的函數f(x)滿足:f(x+1)=$\sqrt{f(x){-f}^{2}(x)}+\frac{1}{2}$,數列{an}滿足an=f2(n)-f(n),n∈N*,若其前n項和為-$\frac{35}{16}$,則n的值為( 。
A.16B.17C.18D.19

分析 根據f(x+1)=$\sqrt{f(x){-f}^{2}(x)}+\frac{1}{2}$,移項后平方,an=f2(n)-f(n),n∈N*,可得an+1+an=$-\frac{1}{4}$,令x=0,可得f(1)=$\frac{1}{2}$,可得偶數項的值為0.從而可得前n項和為-$\frac{35}{16}$,時n的值.

解答 解:∵f(x+1)=$\sqrt{f(x){-f}^{2}(x)}+\frac{1}{2}$,
∴f(x+1)-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{f(x)-{f}^{2}(x)}$,
兩邊平方,得[f(x+1)-$\frac{1}{2}$]2=f(x)-f2(x)
化簡得[f2(x+1)-f(x+1)+$\frac{1}{4}$]=-[f2(x)-f(x)]
∵an=f2(n)-f(n),可得an+1=f2(n+1)-f(n+1),
∴an+1+an=[f2(n+1)-f(n+1)]+[f2(n)-f(n)]=-$\frac{1}{4}$,
∵定義在R上的函數f(x)滿足:f(x+1)=$\sqrt{f(x){-f}^{2}(x)}+\frac{1}{2}$,
令x=0,可得f(1)=$\frac{1}{2}$
那么:a1=f2(1)-f(1)=-$\frac{1}{4}$.
∵an+1+an=$-\frac{1}{4}$,即偶數項的值為0.
∵數列前n項和為-$\frac{35}{16}$=$-2-\frac{3}{16}$
∴S16=-2,S18=-2.25.
滿足題意n的值為17.
故選B

點評 本題主要考查數列和函數的應用,根據條件推出數列的遞推關系是解決本題的關鍵.綜合性較強,有一定的難度.

練習冊系列答案
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