Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2tx+2，其中 t∈R．
（1）若t=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的取值范圍；
（2）若t=1，且對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若對任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有f（x₁）-f（x₂）≤8，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷f（x）在[0，4]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出f（x）的最值，得出值域；
（2）令g（x）=f（x）-5，根據(jù)對稱軸與區(qū)間[a，a+2]的關(guān)系求出g（x）的最大值，令g_max（x）＜0解出a的取值范圍．
（3）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為M，最小值為m，對任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有f（x₁）-f（x₂）≤8等價(jià)于M-m≤8，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答 解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，f（x）=x²-2x+2，∴f（x）的對稱軸為x=1，
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在（1，4]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值f（1）=1，當(dāng)x=4時(shí)，f（x）取得最大值f（4）=10．
∴f（x）在區(qū)間[0，4]上的取值范圍是[1，10]．
（2）∵f（x）＜5，∴x²-2x+2＜5，即x²-2x-3＜0，令g（x）=x²-2x-3，g（x）的對稱軸為x=1．
①若a+1≥1，即a≥0時(shí)，g（x）在[a，a+2]上的最大值為g（a+2）=a²+2a-3，
∵對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x²-2x-3＜0恒成立，
∴a²+2a-3＜0，解得0≤a＜1．
②若a+1＜1，即a＜0時(shí)，g（x）在[a，a+2]上的最大值為g（a）=a²-2a-3，
∵對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x²-2x-3＜0恒成立，
∴a²-2a-3＜0，解得-1＜a＜0，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，1）．
（3）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為M，最小值為m，
所以“對任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8”等價(jià)于“M-m≤8”．
①當(dāng)t≤0時(shí)，M=f（4）=18-8t，m=f（0）=2．
由M-m=18-8t-2=16-8t≤8，得t≥1．
從而 t∈∅．
②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，M=f（4）=18-8t，m=f（t）=2-t²．
由M-m=18-8t-（2-t²）=t²-8t+16=（t-4）²≤8，得$4-2\sqrt{2}≤t≤4+2\sqrt{2}$．，
⇒$4-2\sqrt{2}≤t≤2$
③當(dāng)2＜t≤4時(shí)，M=f（0）=2，m=f（t）=2-t²．
由M-m=2-（2-t²）=t²≤8，得-2$\sqrt{2}$≤t≤2$\sqrt{2}$
⇒2＜t≤2$\sqrt{2}$；
④當(dāng)t＞4時(shí)，M=f（0）=2，m=f（4）=18-8t．
由M-m=2-（18-8t）=8t-16≤8，得t≤3．
從而 t∈∅．
綜上，t的取值范圍為區(qū)間[4-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)恒成立問題，常根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系來判斷單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．