Question

15．函數(shù)f（x）=x-2cosx在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，0]$上的最小值是（　　）

• A． $-\frac{π}{2}$
• B． -2
• C． $-\frac{π}{3}-1$
• D． $-\frac{π}{6}-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求導(dǎo)，令f′（x）＞0，求得單調(diào)遞增區(qū)間，令f′（x）＜0，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得當x=-$\frac{π}{6}$時，取最小值，代入即可求得函數(shù)的最小值．

解答 解：由函數(shù)f（x）=x-2cosx，求導(dǎo)f′（x）=1+2sinx，x∈$[-\frac{π}{2}，0]$，
令f′（x）＞0，即sinx＞-$\frac{1}{2}$，即-$\frac{π}{6}$＜x＜0，
令f′（x）＜0，即sinx＜-$\frac{1}{2}$，即-$\frac{π}{2}$＜x＜-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）單調(diào)遞減，在（-$\frac{π}{6}$，0]單調(diào)遞增，
∴當x=-$\frac{π}{6}$時，取最小值，最小值為：f（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{π}{6}$-2cos（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{π}{6}$-$\sqrt{3}$，
函數(shù)f（x）=x-2cosx在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，0]$上的最小值-$\frac{π}{6}$-$\sqrt{3}$，
故選D．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查求導(dǎo)公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．