Question

17．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，$\overrightarrow{m}$=（b，cosB），$\overrightarrow{n}$=（2a-c，cosC）且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，求
（1）角B的大�。�
（2）sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的平行結(jié)合正弦定理求出B的值即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出sinA+sinC=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），結(jié)合A的范圍求出sinA+sinC的范圍即可．

解答 解：（1 ）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，得bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB，
由正弦定理，得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
又B+C=π-A
∴sinA=2sinAcosB，
又sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）sinA+sinC
=sinA+sin（$\frac{2}{3}$π-A）
=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA
=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
故$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sinA+sinC＜$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行向量的性質(zhì)，考查正弦定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．