18.已知函數(shù)f(x)=ex
(1)過(guò)點(diǎn)(-1,0)作f(x)=ex的切線(xiàn),求此切線(xiàn)的方程.
(2)若f(x)≥kx+b對(duì)任意x∈[0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)k,b應(yīng)滿(mǎn)足的條件.

分析 (1)f′(x)=ex,f′(0)=1,利用點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)的方程.
(2)設(shè)H(x)=f(x)-kx-b=ex-kx-b,x∈[0,+∞),H′(x)=ex-k,x∈[0,+∞).對(duì)k分類(lèi)討論,利用函數(shù)H(x)的 單調(diào)性可得H(x)min,進(jìn)而得出k與b的求值范圍.

解答 解:(1)f′(x)=ex,f′(0)=1,
∴切線(xiàn)的方程為y=x+1.
(2)設(shè)H(x)=f(x)-kx-b=ex-kx-b,x∈[0,+∞),
∴H′(x)=ex-k,x∈[0,+∞).
①當(dāng)k≤1時(shí),顯然H′(x)≥0,則H(x)在x∈[0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴H(x)min=H(0)=1-b≥0,∴b≤1,即$\left\{\begin{array}{l}{k≤1}\\{b≤1}\end{array}\right.$時(shí)符合題意.
②當(dāng)k>1時(shí),H(x)在x∈[0,ln k)上單調(diào)遞減,x∈[ln k,+∞)上單調(diào)遞增,
∴H(x)min=H(ln k)=k-kln k-b≥0,∴b≤k(1-ln k).
綜上所述:滿(mǎn)足題意的條件是$\left\{\begin{array}{l}{k≤1}\\{b≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k>1}\\{b≤k(1-lnk)}\end{array}\right.$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、解不等式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求g(x)和h(x)的解析式;
(2)對(duì)于x1,x2∈[-1,1],均有h(x1)+ax1+5≥g(x2)-x2g(x2)成立,求a的取值范圍;
(3)設(shè)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}g(x),(x>0)\\ h(x),(x≤0)\end{array}$,在(2)的條件下,討論方程f[f(x)]=a+5的解的個(gè)數(shù)情況.

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