6.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}$-$\frac{3}{2}{x^2}$+2x+3a+b恰有3個不同的零點,則f(0)的取值范圍是(-$\frac{5}{6}$,-$\frac{2}{3}$).

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出函數(shù)的極大值和極小值,利用函數(shù)f(x)恰有3個不同的零點,轉(zhuǎn)化為f(x)極大>0且f(x)極小<0,求出a,b的關(guān)系即可得到結(jié)論.

解答 解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2),
由f′(x)>0得x>2或x<1,此時函數(shù)單調(diào)遞增,
由f′(x)<0,得1<x<2,此時函數(shù)單調(diào)遞減,
即當(dāng)x=1時,函數(shù)取得極大值,f(1)=$\frac{1}{3}-\frac{3}{2}$+2+3a+b=$\frac{5}{6}$+3a+b,
即當(dāng)x=2時,函數(shù)取得極小值,f(2)=$\frac{8}{3}-$6+4+3a+b=$\frac{2}{3}$+3a+b,
若函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}$-$\frac{3}{2}{x^2}$+2x+3a+b恰有3個不同的零點,
則f(x)極大>0且f(x)極小<0,
即f(x)極大=$\frac{5}{6}$+3a+b>0且f(x)極小=$\frac{2}{3}$+3a+b<0,
則-$\frac{5}{6}$<3a+b<-$\frac{2}{3}$,
則f(0)=3a+b,
即f(0)的取值范圍是(-$\frac{5}{6}$,-$\frac{2}{3}$),
故答案為:(-$\frac{5}{6}$,-$\frac{2}{3}$)

點評 本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)極值和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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