Question

16．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且B=60°，c=4．
（Ⅰ）若b=6，求角C的正弦值及△ABC的面積；
（Ⅱ）若D，E在線段BC上，且BD=DE=EC，$AE=2\sqrt{3}BD$，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式和三角形的面積公式即可求出，
（Ⅱ）設(shè)BD=x，由余弦定理求出x的值，再根據(jù)勾股定理即可求出．

解答 解：（Ⅰ）B=60°，c=4，b=6，
在△ABC中，由正弦定理$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
得$sinC=\frac{csinB}=\frac{{4•\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
又b＞c，所以B＞C，則C為銳角，所以$cosC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
則sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{\sqrt{6}}}{3}+\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{6}$，
所以△ABC的面積$S=\frac{1}{2}bcsinA=12•\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{6}=6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$．
（Ⅱ）設(shè)BD=x，則BE=2x，$AE=2\sqrt{3}x$，又B=60°，c=4，
在△ABE中，由余弦定理得12x²=16+4x²-2•4•2x•cos60°，
即8x²=16-8x，解得x=1，
則BE=2，所以∠AEB=90°，
在直角△ADE中，$AD=\sqrt{A{E^2}+D{E^2}}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面積公式和兩角和的正弦公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題