Question

7．某大學(xué)高等數(shù)學(xué)老師這學(xué)期分別用A、B兩種不同的教學(xué)方式試驗(yàn)甲、乙兩個(gè)大一新班（人數(shù)均為60人，入學(xué)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同；勤奮程度和自覺性都一樣）．現(xiàn)隨機(jī)抽取甲、乙兩班各20名的高等數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)，得到莖葉圖如圖：
（1）學(xué)校規(guī)定：成績(jī)不得低于85分的為優(yōu)秀，請(qǐng)?zhí)顚懭绫淼?×2列聯(lián)表，并判斷“能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)？”

	甲班	乙班	合計(jì)
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計(jì)

下面臨界值表僅供參考：

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.10	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
（2）現(xiàn)從甲班高等數(shù)學(xué)成績(jī)不得低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，求成績(jī)?yōu)?6分的同學(xué)至少有一個(gè)被抽中的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)莖葉圖，計(jì)算甲、乙兩班不低于85分的學(xué)生數(shù)，填寫列聯(lián)表，
計(jì)算觀測(cè)值K²，從而得出概率結(jié)論；
（2）用列舉法計(jì)算從甲班成績(jī)不得低于80分的6人中抽取2名的基本事件數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的概率值．

解答 解：（1）根據(jù)莖葉圖，計(jì)算甲班不低于85分的學(xué)生數(shù)是有3人，乙班不低于85分有9人，
填寫列聯(lián)表，如下；

	甲班	乙班	合計(jì)
優(yōu)秀	3	10	13
不優(yōu)秀	17	10	27
合計(jì)	20	20	40

計(jì)算觀測(cè)值K²=$\frac{40{×（3×10-10×17）}^{2}}{13×27×20×20}$≈5.584＞5.024 
因此，“能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”
（2）甲班成績(jī)不得低于80分的有6人，記為A、B、C、D、E、F，
其中86分有2人，記為E、F，
從這6人中隨機(jī)抽取2名，基本事件是
AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、
CD、CE、CF、DE、DF、EF共15種，
成績(jī)?yōu)?6分的同學(xué)至少有一個(gè)被抽中的基本事件為
AE、AF、BE、BF、CE、CF、DE、DF、EF共9種，
故所求的概率為P=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了莖葉圖、列聯(lián)表以及獨(dú)立性檢驗(yàn)和列舉法球概率的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．