分析 (1)橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,b=$\frac{丨0-0+2丨}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$,又橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,解得:a2=4,即可求得橢圓C的方程為;
(2)由OP∥F2M,S${\;}_{△P{F}_{2}M}$=${S}_{O{F}_{2}M}$,S=S1+S2=SOMN=$\frac{1}{2}$•丨OF2丨丨y1-y2丨=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{({y}_{1}-{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$,設(shè)直線MN:x=ky+$\sqrt{2}$,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可知:S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{(\frac{2\sqrt{2}k}{{k}^{2}+2})^{2}-4×\frac{-2}{{k}^{2}+2}}$=2$\sqrt{2}$$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{({k}^{2}+1)+1}$=2$\sqrt{2}$×$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}$,由基本不等式的性質(zhì),即可求得S的最大值.
解答 解:(1)由題意可知:橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線l:x-y+2=0相切,
即b=$\frac{丨0-0+2丨}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$,
又橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,解得:a2=4,
橢圓C的方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$;
(2)由(1)可知:橢圓的右焦點(diǎn)F2($\sqrt{2}$,0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
∵OP∥F2M
∴S${\;}_{△P{F}_{2}M}$=${S}_{O{F}_{2}M}$,
∴S=S1+S2=SOMN=$\frac{1}{2}$•丨OF2丨丨y1-y2丨=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{({y}_{1}-{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$,
設(shè)直線MN:x=ky+$\sqrt{2}$,
$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$,整理得:(k2+2)y2+2$\sqrt{2}$ky-2=0,
y1+y2=$\frac{-2\sqrt{2}k}{{k}^{2}+2}$,y1•y2=$\frac{-2}{{k}^{2}+2}$,
∴S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{(\frac{2\sqrt{2}k}{{k}^{2}+2})^{2}-4×\frac{-2}{{k}^{2}+2}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{({k}^{2}+2)^{2}}}$,
=2$\sqrt{2}$$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{({k}^{2}+1)+1}$=2$\sqrt{2}$×$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}$,
由$\sqrt{{k}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≥2,
S≤2$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{{k}^{2}+1}$=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$時(shí),即k=0時(shí),取等號(hào),
S的最大值$\sqrt{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查三角形的面積公式,韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式及基本不等式的應(yīng)用,考查橢圓與不等式的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | 1 | C. | 4 | D. | 3 |
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