Question

13．已知函數(shù)$f（x）={（{log_2}x）^2}-{log_2}{x^2}+3$，當(dāng)x∈[1，4]時，f（x）的最大值為m，最小值為n．
（1）若角α的終邊經(jīng)過點P（m，n），求sinα+cosα的值；
（2）設(shè)$g（x）=mcos（nx+\frac{π}{m}）-n$，h（x）=g（x）-k在$[0，\frac{π}{2}]$上有兩個不同的零點x₁，x₂，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令log₂x=t，∴g（t）=t²-2t+3，t∈[0，2]，求得m，n，利用三角函數(shù)定義求解．
（2）h（x）=g（x）-k=3cos（2x+$\frac{π}{3}$）-2-k，即h（x）=g（x）-k在$[0，\frac{π}{2}]$上有兩個不同的零點x₁，x₂?y=3cosx，x$∈[0，\frac{4}{3}π]$與y=2+k有兩個交點，結(jié)合余弦函數(shù)圖象即可求解．

解答 解：（1）$f（x）={（{log_2}x）^2}-{log_2}{x^2}+3$，
令log₂x=t，∴g（t）=t²-2t+3，t∈[0，2]
最大值m=3，最小值n=2，
∴P（3，2），∴$sinα=\frac{2}{{\sqrt{13}}}$，$cosα=\frac{3}{{\sqrt{13}}}$，
∴$sinα+cosα=\frac{{5\sqrt{13}}}{13}$．
（2）$g（x）=3cos（2x+\frac{π}{3}）-2$，h（x）=g（x）-k=3cos（2x+$\frac{π}{3}$）-2-k
⇒$3cos（2x+\frac{π}{3}）=2+k$，
x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4}{3}π$]，
∴h（x）=g（x）-k在$[0，\frac{π}{2}]$上有兩個不同的零點x₁，x₂?y=3cosx，x$∈[0，\frac{4}{3}π]$與y=2+k有兩個交點，
∴$k+2∈（-3，-\frac{3}{2}]$，
∴$k∈（-5，-\frac{5}{2}]$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的值域、三角函數(shù)定義、函數(shù)零點，屬于中檔題．