Question

14．已知橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1，A，B，C，D為橢圓上四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AC，BD相交于原點(diǎn)O，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）滿足$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}$=$\frac{1}{5}$．
（1）求證：$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$；
（2）k_AB+k_BC的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出此定值，并求出四邊形ABCD面積的最大值，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得四邊形ABCD為平行四邊形，故$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$，即$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$；
（2）由$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}$=$\frac{1}{5}$，得4y₁y₂=x₁x₂，若直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0時(shí)），不滿足4y₁y₂=x₁x₂；當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B的橫坐標(biāo)的和與積，結(jié)合4y₁y₂=x₁x₂
求得k，把三角形AOB的面積化為關(guān)于m的函數(shù)，利用基本不等式求其最值，進(jìn)一步得到四邊形ABCD面積的最大值．

解答 （1）證明：分別連接AB、BC、CD、AD，∵AC、BD相交于原點(diǎn)O，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，AC、BD互相平分，且原點(diǎn)O為它們的中點(diǎn)．
則四邊形ABCD為平行四邊形，故$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$，即$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$；
（2）解：∵$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}$=$\frac{1}{5}$，∴4y₁y₂=x₁x₂，
若直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0時(shí)），不滿足4y₁y₂=x₁x₂；
直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=16（4k²-m²+1）＞0，①
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
∵4y₁y₂=x₁x₂，又${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$，
∴$（4{k}^{2}-1）{x}_{1}{x}_{2}+4km（{x}_{1}+{x}_{2}）+4{m}^{2}=0$，
即$（4{k}^{2}-1）\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}+4km（\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}）+4{m}^{2}=0$．
整理得：k=$±\frac{1}{2}$．
∵A、B、C、D的位置可以輪換，∴AB、BC的斜率一個(gè)是$\frac{1}{2}$，另一個(gè)就是$-\frac{1}{2}$．
∴k_AB+k_BC=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$，是定值．
不妨設(shè)${k}_{AB}=-\frac{1}{2}$，則${x}_{1}+{x}_{2}=2m，{x}_{1}{x}_{2}=2（{m}^{2}-1）$．
設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|•\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{4{m}^{2}-4•2（{m}^{2}-1）}=\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$≤1．
當(dāng)m²=1時(shí)滿足①取等號(hào)．
∴S_{四邊形ABCD}=4S_△AOB≤4，即四邊形ABCD面積的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．