Question

9．已知直角坐標(biāo)系中x軸正方向是極坐標(biāo)系的極軸，坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，若曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C₂：ρ=sinα．
（1）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（2）已知直線l：x+y-8=0，求曲線C₁上的點(diǎn)到直線l的最短距離．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)，可得普通方程，根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，將曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程即可；
（2）曲線C₁上的點(diǎn)到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）-8|}{\sqrt{2}}$，即可求曲線C₁上的點(diǎn)到直線l的最短距離．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)，可得普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
曲線C₂：ρ=sinθ，即：ρ²=ρsinθ，直角坐標(biāo)方程為x²+y²-y=0．
（2）曲線C₁上的點(diǎn)到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）-8|}{\sqrt{2}}$，
∴曲線C₁上的點(diǎn)到直線l的最短距離為$\frac{8-\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程及直角坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化，考查了點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．