【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，下頂點為，為坐標原點，點到直線的距離為，為等腰直角三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點，若直線與直線的斜率之和為，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）利用表示出點到直線的距離；再利用和的關(guān)系得到方程，求解得到標準方程；（2）當直線斜率存在時，假設(shè)直線方程，利用斜率之和為得到與的關(guān)系，將直線方程化為，從而得到定點；當斜率不存在時，發(fā)現(xiàn)直線也過該定點，從而求得結(jié)果.

（1）解：由題意可知：直線的方程為，即

則

因為為等腰直角三角形，所以

又

可解得，，

所以橢圓的標準方程為

（2）證明：由（1）知

當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為

代入，得

所以，即

設(shè)，，則，

因為直線與直線的斜率之和為

所以

整理得

所以直線的方程為

顯然直線經(jīng)過定點

當直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為

因為直線與直線的斜率之和為，設(shè)，則

所以，解得

此時直線的方程為

顯然直線也經(jīng)過該定點

綜上，直線恒過點

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點作斜率為的直線與圓交于，兩點.

（1）若圓心到直線的距離為，求的值；

（2）求線段中點的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在數(shù)學建模課上，老師給大家?guī)砹艘粍t新聞：“2019年8月16日上午，423米的東莞第一高樓民盈國貿(mào)中心2號樓（以下簡稱“國貿(mào)中心”）正式封頂，隨著最后一方混凝土澆筑到位，標志著東莞最高樓紀錄誕生，由東莞本地航母級企業(yè)民盈集團刷新了東莞天際線，比之前的東莞第一高樓臺商大廈高出134米.”在同學們的驚嘆中，老師提出了問題：國貿(mào)中心真有這么高嗎？我們能否運用所學知識測量驗證一下？一周后，兩個興趣小組分享了他們各自的測量方案.

第一小組采用的是“兩次測角法”：他們在國貿(mào)中心隔壁的會展中心廣場上的點測得國貿(mào)中心頂部的仰角為，正對國貿(mào)中心前進了米后，到達點，在點測得國貿(mào)中心頂部的仰角為，然后計算出國貿(mào)中心的高度（如圖）.

第二小組采用的是“鏡面反射法”：在國貿(mào)中心后面的新世紀豪園一幢11層樓（與國貿(mào)中心處于同一水平面，每層約3米）樓頂天臺上，進行兩個操作步驟：①將平面鏡置于天臺地面上，人后退至從鏡中能看到國貿(mào)大廈的頂部位置，測量出人與鏡子的距離為米；②正對國貿(mào)中心，將鏡子前移米，重復①中的操作，測量出人與鏡子的距離為米.然后計算出國貿(mào)中心的高度（如圖）.

實際操作中，第一小組測得米，，，最終算得國貿(mào)中心高度為；第二小組測得米，米，米，最終算得國貿(mào)中心高度為；假設(shè)他們測量者的“眼高”都為米.

（1）請你用所學知識幫兩個小組完成計算（參考數(shù)據(jù)：，,答案保留整數(shù)結(jié)果）；

（2）你認為哪個小組的方案更好，說出你的理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，，如果函數(shù)有兩個極值點、，求證：.（參考數(shù)據(jù)：，，，為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線為（為參數(shù)）.在以為原點， 軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為，射線與除極點外的一個交點為，設(shè)直線經(jīng)過點，且傾斜角為，直線與曲線的兩個交點為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】軍訓時，甲、乙兩名同學進行射擊比賽，共比賽10場，每場比賽各射擊四次，且用每場擊中環(huán)數(shù)之和作為該場比賽的成績．數(shù)學老師將甲、乙兩名同學的10場比賽成績繪成如圖所示的莖葉圖，并給出下列4個結(jié)論：(1)甲的平均成績比乙的平均成績高；(2)甲的成績的極差是29；(3)乙的成績的眾數(shù)是21；(4)乙的成績的中位數(shù)是18．則這4個結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)為(　　)

A. 1B. 2C. 3D. 4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

（Ⅰ）求的分布列；

（Ⅱ）若要求，確定的最小值；

（Ⅲ）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中正確的是（ ）

A.是空間中的四點，若不能構(gòu)成空間基底，則共面

B.已知為空間的一個基底，若，則也是空間的基底

C.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線

D.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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