Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{x}$．
（1）從區(qū)間（-2，2）內(nèi)任取一個實數(shù)a，設事件A表示“函數(shù)y=f（x）-2在區(qū)間（0，+∞）上有兩個不同的零點”，求事件A發(fā)生的概率；
（2）若連續(xù)擲兩次一顆均勻的骰子（骰子六個面上標注的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）得到的點數(shù)分別為a和b，記事件B表示“f（x）＞b在x∈（0，+∞）上恒成立”，求事件B發(fā)生的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知得ax²-2x+1=0有兩個不同的正根x₁和x₂，由此利用根的判別式、韋達定理能求出0＜a＜1，由此能求出p（A）．
（2）由已知a＞0，x＞0，所以f（x）＞b，即ax²-bx+1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，故需且只需△=b²-4a＜0（*）．由此利用列舉法能求出事件B發(fā)生的概率P（B）．

解答 解：（1）因為函數(shù)y=f（x）-2在區(qū)間（0，+∞）上有兩個不同的零點，
所以f（x）-2=0，即ax²-2x+1=0有兩個不同的正根x₁和x₂，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{a}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{a}＞0}\\{△=4-4a＞0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜1，所以p（A）=$\frac{1-0}{2-（-2）}$=$\frac{1}{4}$．
（2）由已知a＞0，x＞0，所以f（x）＞b，即ax²-bx+1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
故需且只需△=b²-4a＜0（*）．
當a=1時，b=1適合（*）；當a=2時，b=1，2適合（*）；
當a=3，4時，b=1，2，3均適合（*）；
當a=5，6時，b=1，2，3，4適合（*）．
∴滿足（*）的基本事件個數(shù)為m=1+2+6+8=17．
而基本事件總數(shù)為n=6×6=36，
所以事件B發(fā)生的概率P（B）=$\frac{m}{n}=\frac{17}{36}$．

點評 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意幾何概型、列舉法的合理運用．