Question

13．設(shè)函數(shù)$f（x）=|{x+a+1}|+|{x-\frac{4}{a}}|，（a＞0）$．
（Ⅰ）證明：f（x）≥5；
（Ⅱ）若f（1）＜6成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$f（x）=|{x+a+1}|+|{x-\frac{4}{a}}|≥|{（x+a+1）-（x-\frac{4}{a}）}|=|{a+1+\frac{4}{a}}|$≥5；
（Ⅱ）由f（1）＜6得$|{1-\frac{4}{a}}|＜4-a$，$\frac{{|{a-4}|}}{a}＜4-a$，
分①當(dāng)a≥4，②當(dāng)a＜4 求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）證明：$f（x）=|{x+a+1}|+|{x-\frac{4}{a}}|≥|{（x+a+1）-（x-\frac{4}{a}）}|=|{a+1+\frac{4}{a}}|$
∵a＞0，∴$f（x）≥a+1+\frac{4}{a}≥2\sqrt{a•\frac{4}{a}}+1=5$…．（5分）
（Ⅱ）由f（1）＜6得：$|{a+2}|+|{1-\frac{4}{a}}|＜6$，
∵a＞0，∴$|{1-\frac{4}{a}}|＜4-a$，$\frac{{|{a-4}|}}{a}＜4-a$…（7分）
①當(dāng)a≥4時(shí)，不等式$\frac{{|{a-4}|}}{a}＜4-a$無(wú)解；
②當(dāng)a＜4時(shí)，不等式$\frac{{|{a-4}|}}{a}＜4-a$，即$\frac{1}{a}＜1$，a＞1，
所以1＜a＜4…（9分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，4）…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，解絕對(duì)值不等式，屬于中檔題．