Question

14．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosθ}\\{y=-1+4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l：$ρ=\frac{2\sqrt{2}m}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$（m為常數(shù)）．
（1）求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，當|AB|=4時，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉化方法，求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標方程；
（2）由題意，圓心到直線的距離d=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，即可求實數(shù)m的值．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosθ}\\{y=-1+4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），普通方程為（x-1）²+（y+1）²=16，
直線l：$ρ=\frac{2\sqrt{2}m}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$，即ρsinθ+ρcosθ=4m，直角坐標方程為x+y-4m=0；
（2）由題意，圓心到直線的距離d=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|-4m|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{3}$，∴m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查三種方程的轉化，考查直線與圓的位置關系，考查弦長的計算，屬于中檔題．