【題目】設分別是橢圓的左、右焦點.
(1)若是該橢圓上的一個動點,求的最大值和最小值;
(2)設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點,且為銳角(其中為坐標原點),求直線的斜率的取值范圍.
【答案】(1) ;(2).
【解析】
(1)設出點P的坐標,向量坐標化得到的表達式,進而得到最值;(2)為銳角即,設出點AB的坐標,向量坐標化得到點積的表達式為:x1x2+y1y2,聯(lián)立直線和橢圓方程,由韋達定理得到結果.
(1)由已知得,F1(-,0),F2(,0),設點P(x,y),
則+y2=1,且-2≤x≤2.
所以·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2-3+y2=x2-3+1-=x2-2,
當x=0,即P(0,±1)時,(·)min=-2;
當x=±2,即P(±2,0)時,(·)max=1.
(2)由題意可知,過點M(0,2)的直線l的斜率存在.
設l的方程為y=kx+2,
由消去y,化簡整理得
(1+4k2)x2+16kx+12=0,Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0,解得k2>.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=,
又∠AOB為銳角,所以·>0,即x1x2+y1y2>0,
有x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)·+2k·+4>0,解得k2<4,
所以<k2<4,即k∈.
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【題目】[選修44:坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(
為參數(shù)).以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標
方程是.
(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知點.若點的極坐標為,直線經(jīng)過點且與曲線相交于兩點,求兩點間的距離的值.
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【題目】已知,拋物線: 與拋物線: 異于原點的交點為,且拋物線在點處的切線與軸交于點,拋物線在點處的切線與軸交于點,與軸交于點.
(1)若直線與拋物線交于點, ,且,求拋物線的方程;
(2)證明: 的面積與四邊形的面積之比為定值.
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【題目】設函數(shù)的定義域為,若存在常數(shù),使對一切實數(shù)均成立,則稱為“倍約束函數(shù)”現(xiàn)給出下列函數(shù):;;;是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù),且對一切,均有其中是“倍約束函數(shù)”的序號是
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E為棱AD的中點,異面直線PA與CD所成的角為90°.
(I)在平面PAB內(nèi)找一點M,使得直線CM∥平面PBE,并說明理由;
(II)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.
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【題目】在直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線經(jīng)過點,且傾斜角為.
(1)寫出直線的參數(shù)方程和圓的標準方程;
(2)設直線與圓相交于兩點,求的值.
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【題目】近年來,我國電子商務蓬勃發(fā)展,有關部門推出了針對網(wǎng)購平臺的商品和服務的評價系統(tǒng),從該系統(tǒng)中隨機選出100次成功了的交易,并對這些交易的評價進行統(tǒng)計,網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.6,對服務的滿意率為0.75,其中對商品和服務都滿意的交易為40次.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并回答能否有的把握認為“網(wǎng)購者對服務滿意與對商品滿意之間有關”?
(2)若將頻率視為概率,某人在該網(wǎng)購平臺上進行的3次購物中,設對商品和服務都滿意的次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.
附: (其中為樣本容量)
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【題目】某網(wǎng)店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況:第一天售出19種商品,第二天售出13種商品,第三天售出18種商品;前兩天都售出的商品有3種,后兩天都售出的商品有4種,則該網(wǎng)店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______種;
②這三天售出的商品最少有_______種.
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【題目】學校藝術節(jié)對同一類的,,,四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________.
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