Question

18．給定正奇數(shù)n，數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的一個(gè)排列，定義E（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|為數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的位差和．
（Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，則數(shù)列{a_n}：1，3，4，2，5的位差和為4；
（Ⅱ）若位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=4，則滿足條件的數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的個(gè)數(shù)為$\frac{{（{n-2}）（{n+3}）}}{2}$．；（用n表示）

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a(bǔ)₁，a₃，a₄，a₂，a₅分別代入E（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|進(jìn)行解答即可；
（Ⅱ）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)a_i=i+1，a_i+1=i，a_j=j+1，a_j+1=j，且{a_i，a_i+1}∩{a_j，a_j+1}=∅，其他項(xiàng)a_k=k（其中k∉{i，i+1，j，j+1}）時(shí)和當(dāng)a_i，a_i+1，a_i+2分別等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，其他項(xiàng)a_k=k（其中k∉{i，i+1，i+2}）；

解答 解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；
（II）若數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=4，有如下兩種情況：
情況一：當(dāng)a_i=i+1，a_i+1=i，a_j=j+1，a_j+1=j，且{a_i，a_i+1}∩{a_j，a_j+1}=∅，
其他項(xiàng)a_k=k（其中k∉{i，i+1，j，j+1}）時(shí)，
有（n-3）+（n-4）+…+2+1=$\frac{（n-2）（n-3）}{2}$種可能；
情況二：當(dāng)a_i，a_i+1，a_i+2分別等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，
其他項(xiàng)a_k=k（其中k∉{i，i+1，i+2}）時(shí)，有3（n-2）種可能；
綜上，滿足條件的數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的個(gè)數(shù)為$\frac{（n-2）（n-3）}{2}$+3（n-2）=$\frac{{（{n-2}）（{n+3}）}}{2}$．
故答案為：（I）4；（II）$\frac{{（{n-2}）（{n+3}）}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義“位差和”、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．