Question

20．新學(xué)年伊始，附中社團(tuán)開始招新．某高一新生對(duì)“大觀天文社”、“理科學(xué)社”、“水墨霓裳社”很感興趣．假設(shè)他能被這三個(gè)社團(tuán)接受的概率分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$．
（1）求此新生被兩個(gè)社團(tuán)接受的概率；
（2）設(shè)此新生最終參加的社團(tuán)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)他被這三個(gè)社團(tuán)接受分別是事件A，B，C．可得P=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}$BC）．
（2）此新生參加的社團(tuán)數(shù)ξ可能取值為0，1，2，3，利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式可得分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)他被這三個(gè)社團(tuán)接受分別是事件A，B，C．
則P=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}$BC）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{12}$．
（2）此新生參加的社團(tuán)數(shù)ξ可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{12}$，P（ξ=1）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{8}$，P（ξ=2）=$\frac{5}{12}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{8}$．
故ξ分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{8}$

E（ξ）=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{3}{8}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{8}$=$\frac{19}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．