Question

4．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，直線PB和平面ABCD所成的角為45°，E為PC的中點(diǎn)．
（I）求證：PA∥平面BED
（ II）求二面角C-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)AC，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)D，連結(jié)OE，證明OE∥PA，即可證明PA∥平面BED
（ II）過(guò)O作OF⊥BE，垂足為F，連CF，由三垂線定理，得CF⊥BE，故∠OFC為二面角C-BE-D的平面角，在Rt△COF中，求二面角C-BE-D的余弦值．

解答 （I）證明：連結(jié)AC，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)D，連結(jié)OE．
∴ABCD是菱形，∴O是AC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，∴OE∥PA．
∵OE?平面BFD，PA?平面BFD，…（2分）
∴PA∥平面BED．   …（4分）
（II）解：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC．
由（I）知OE∥PA，∴OE⊥AC．…（5分）
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵OE∩BD=O，∴AC⊥平面BED． …（6分）
過(guò)O作OF⊥BE，垂足為F，連CF，由三垂線定理，得CF⊥BE，故∠OFC為二面角C-BE-D的平面角．
由∠ABC=60°知△ABC為正三角形，
∵PB和平面ABCD所成的角為∠PBA=45°
∴PA=AB，設(shè)PA=AB=a，則$OE=\frac{1}{2}a，BO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$$，BE=\sqrt{B{O^2}+O{E^2}}=a$．
在Rt△COF中，$OF=\frac{OE•BO}{BE}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}a$，$OC=\frac{1}{2}a$，$CF=\sqrt{O{C^2}+O{F^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}a$，
∴$cos∠OFC=\frac{OF}{CF}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
∴二面角C-BE-D的余弦值是$\frac{\sqrt{21}}{7}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行，考查二面角C-BE-D的余弦值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．