Question

11．設(shè)f（x）是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=$\sqrt{3}$tan$\frac{πx}{6}$，若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-ax-a=0恰有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則正數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{3}{7}$，1）
• B． （$\frac{3}{4}$，1）
• C． （0，$\frac{3}{7}$）
• D． （0，$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 由已知求出x∈[-2，0]的函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)是周期為4的偶函數(shù)作出y=f（x）在（-2，6）內(nèi)的圖象，直線y=ax+a恒過(guò)定點(diǎn)（-1，0），數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：設(shè)x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，
∴f（-x）=$\sqrt{3}tan\frac{-πx}{6}$=$-\sqrt{3}tan\frac{πx}{6}$．
∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=$-\sqrt{3}tan\frac{πx}{6}$，x∈[-2，0]．
在區(qū)間（-2，6）內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-ax-a=0恰有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即f（x）=ax+a恰有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
也就是函數(shù)y=f（x）的圖象與y=ax+a的圖象恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)．
作出函數(shù)圖象如圖：

直線y=ax+a恒過(guò)定點(diǎn)（-1，0），經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（-1，0）、（6，3）的直線的斜率為$\frac{3-0}{6-（-1）}=\frac{3}{7}$；
經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（-1，0）、（2，3）的直線的斜率為$\frac{3-0}{2-（-1）}=1$．
∴若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-ax-a=0恰有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
則正數(shù)a的取值范圍是（$\frac{3}{7}，1$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．