Question

17．如圖所示，△ABC內(nèi)接于圓，AD切圓于A，E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CE交AD于D點(diǎn)．若D是CE的中點(diǎn)．求證：AC²=AB•AE．

Answer 1

分析 過(guò)E作EF∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．證明△ACD≌△FED，得出AC=EF，△ABC∽△EFA，得出$\frac{AB}{AC}=\frac{EF}{AE}$，即可證明結(jié)論．

解答 證明：過(guò)E作EF∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
∵CD=DE，∴△ACD≌△FED，
∴AC=EF．
∵AD切圓于A，∴∠B=∠CAF，
∵EF∥AC，
∴∠BAC=∠AEF，∠CAD=∠F，
∴∠B=∠F，
∴△ABC∽△EFA．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{EF}{AE}$，
∴AC•EF=AB•AE，∴AC²=AB•AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形全等的證明，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．