Question

5．已知拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)F也是橢圓${C_2}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個(gè)焦點(diǎn)，C₁與C₂的公共弦長為$2\sqrt{6}$，過點(diǎn)F的直線l與C₁相交于A，B兩點(diǎn)，與C₂相交于C，D兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{BD}$同向．
（1）求C₂的方程；
（2）若|AC|=|BD|，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件列出方程組，求出橢圓的幾何量即可得到橢圓方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），AB=CD，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=k（x-1），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，利用韋達(dá)定理求出AB，由$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$求出CD，然后求解直線的斜率．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）由${C_1}：{y^2}=4x$知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），
因?yàn)镕也是橢圓C₂的一個(gè)焦點(diǎn)，所以a²-b²①；
又C₁與C₂的公共弦長為$2\sqrt{6}，{C_1}$與C₂都關(guān)于x軸對(duì)稱，
且C₁的方程為${C_1}：{y^2}=4x$，由此易知C₁與C₂的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為$（{\frac{3}{2}，±\sqrt{6}}）$，
∴$\frac{9}{{4{a^2}}}+\frac{6}{b^2}=1$②，
聯(lián)立①②得a²=9，b²=8，
故C₂的方程為${C_2}：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$．
（2）如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
因$\overline{AC}$與$\overline{BD}$同向，且|AC|=|BD|知AB=CD，
設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由x₁，x₂是這個(gè)方程的兩根，
${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$，從而$AB=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}+2$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$得（8+9k²）x²-18k²x+9k²-72=0，而x₃，x₄是這個(gè)方程的兩根，
${x_3}+{x_4}=\frac{{18{k^2}}}{{8+9{k^2}}}$，從而$CD=6-\frac{1}{3}\frac{{18{k^2}}}{{8+9{k^2}}}=\frac{{48（{1+{k^2}}）}}{{8+9{k^2}}}$，
由AB=CD得：3k²=8，解得$k=±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，即直線l的斜率為$±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與橢圓的位置關(guān)系，直線與橢圓以及拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．