Question

10．已知數(shù)列{a_n}{滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2，等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=8
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用錯位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）由題意可知：a_n+1-a_n=2
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，以d=2為公差的等差數(shù)列，…（1分）
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1，…（2分）
由等比數(shù)列{b_n}，${b_4}={b_1}•{q^3}$，而b₁=a₁，b₄=8
∴q³=8，∴q=2
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式${b_n}={2^{n-1}}$；…（5分）
（II）由（I）得a_n=2n-1，${b_n}={2^{n-1}}$，∴${c_n}=（2n-1）•{2^{n-1}}$，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=2⁰+3•2¹+…+（2n-1）•2^n-1①
∴$2{S_n}={2^1}+3•{2^2}+…+（2n-1）•{2^n}$②
由①-②得：∴$-{S_n}={2^0}+2•{2^1}+…+2•{2^{n-1}}-（2n-1）•{2^n}$
=$1+2[\frac{{{2^1}（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}]-（2n-1）•{2^n}$=-3+（2-2n）•2ⁿ．
∴${S_n}=3+（n-1）•{2^{n+1}}$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了錯位相減法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．