Question

2．關于函數f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R），有下列說法：
①函數y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位后得到的圖象關于原點對稱；
②函數y=f（x）是以2π為最小正周期的周期函數；
③函數y=f（x）的圖象關于點$（{-\frac{π}{6}，0}）$對稱；
④函數y=f（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{6}$對稱．
其中正確的是③．（填上所有你認為正確的序號）

Answer 1

分析 ①：利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可求平移后圖象對應的函數解析式為y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$），利用函數的圖象即可得解；
②：易求函數f（x）的最小正周期T=π，據此可判斷正誤；
③：利用2x+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），可求得函數y=f（x）的圖象的對稱中心，從而可判斷正誤；
④：由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），可求得函數y=f（x）的圖象的對稱軸方程，從而可判斷正誤．

解答 解：①：∵f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）向右平移$\frac{π}{3}$個單位后得到的圖象對應的解析式為y=4sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=4sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由于4sin（-$\frac{π}{3}$）=-2$\sqrt{3}≠$0，故①錯誤；
②：∵函數f（x）的最小正周期T=π，故②錯誤；
③：由2x+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴函數y=f（x）的圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），
當k=0時，函數y=f（x）的圖象的對稱中心為（-$\frac{π}{6}$，0），故③正確；
④：由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴函數y=f（x）的圖象的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，故④錯誤；
綜上所述，③正確．
故答案為：③．

點評 本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，考查正弦函數的周期性與對稱性，考查誘導公式的應用，屬于中檔題．