Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P到$（{0，-\sqrt{3}}），（{0，\sqrt{3}}）$兩點(diǎn)的距離之和等于4，若點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）如果經(jīng)過點(diǎn)（0，1）的直線l交C于點(diǎn)A，B，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}=0$，求該直線的方程及$|{\overrightarrow{AB}}|$．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義，可知點(diǎn)P的軌跡C是以$（0，-\sqrt{3}），（0，\sqrt{3}）$為焦點(diǎn)，長半軸為2的橢圓，設(shè)橢圓方程，即可求得a和b，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得k的值，求得直線l的方程，根據(jù)向量的模長公式，即可求得$|{\overrightarrow{AB}}|$．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y）．由橢圓定義知，
點(diǎn)P的軌跡C是以$（0，-\sqrt{3}），（0，\sqrt{3}）$為焦點(diǎn)，長半軸為2的橢圓，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則a=2，
其短半軸為$b=\sqrt{{2^2}-{{（\sqrt{3}）}^2}}=1$，
∴C的方程為${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$…（4分）
（2）設(shè)l：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}}，{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}$，${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1$…（6分）
因$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以$0=-\frac{3}{{{k^2}+4}}-\frac{{3{k^2}}}{{{k^2}+4}}-\frac{{2{k^2}}}{{{k^2}+4}}+1=\frac{{-4{k^2}+1}}{{{k^2}+4}}$，解得$k=±\frac{1}{2}$．
故該直線的方程為$y=\frac{1}{2}x+1$或$y=-\frac{1}{2}x+1$…（9分）
此時，${x_1}+{x_2}=\frac{4}{17}，{x_1}{x_2}=-\frac{12}{17}$，
${（{x_2}-{x_1}）^2}={（{x_2}+{x_1}）^2}-4{x_1}{x_2}=\frac{4^2}{{{{17}^2}}}+4×\frac{12}{17}=\frac{{{4^3}×13}}{{{{17}^2}}}$，
所以$|{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}=|{（{x_2}-{x_1}）}|\sqrt{1+{k^2}}=\frac{{4\sqrt{65}}}{17}$，
$|{\overrightarrow{AB}}|$=$\frac{4\sqrt{65}}{17}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模長公式，考查計算能力，屬于中檔題．