分析 (1)連接OM,當(dāng)M為PC中點(diǎn)時(shí),PA∥OM,從而得到當(dāng)λ=1時(shí),PA∥平面BDM.
(2)以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線PA與平面BDM所成角的正弦值.
(3)求出平面ABC的一個(gè)法向量和平面ABM的法向量,利用向量法能求出結(jié)果.
解答 (本小題滿分12分)
解:(1)連接OM,當(dāng)M為PC中點(diǎn)時(shí),
∵四棱錐P-ABCD的底面是菱形,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,∴O是AC中點(diǎn),
∴PA∥OM,
∵PA?平面BDM,OM?平面BDM,
∴求當(dāng)λ=1時(shí),PA∥平面BDM.
(2)以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
A(4,0,0),P(0,0,4),M(-$\frac{4}{3}$,0,$\frac{8}{3}$),B(0,3,0),D(0,-3,0),
$\overrightarrow{DB}$=(0,6,0),$\overrightarrow{DM}$=(-$\frac{4}{3}$,3,$\frac{8}{3}$),
設(shè)平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=6y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=-\frac{4}{3}x+3y+\frac{8}{3}z=0}\end{array}\right.$,取z=1,得$\overrightarrow{n}$=(2,0,1),
設(shè)直線PA與平面BDM所成角為θ,
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{4\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$.
∴直線PA與平面BDM所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$.
(3)平面ABC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(0,0,1).
設(shè)M(a,0,b),代入$\overrightarrow{PM}$=$λ\overrightarrow{MC}$,得(a,0,b-4)=λ(-4-a,0,-b),
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4λ}{1+λ}}\\{b=\frac{4}{1+λ}}\end{array}\right.$,即M($\frac{-4λ}{1+λ}$,0,$\frac{4}{1+λ}$),∴$\overrightarrow{MB}$=($\frac{4λ}{1+λ}$,3,$\frac{-4}{1+λ}$),
設(shè)平面ABM的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=(x,y,z),則$\left\{\begin{array}{l}{-4x+3y=0}\\{\frac{4λ}{1+λ}x+3y-\frac{4}{1+λ}z=0}\end{array}\right.$,
消去y,得(2λ+1)x=z,令x=1,則z=2λ+1,y=$\frac{4}{3}$,
∴平面ABM的一個(gè)法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=(1,$\frac{4}{3}$,2λ+1),
∵二面角M-AB-C的大小為$\frac{π}{4}$,
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{|2λ+1|}{\sqrt{1+\frac{16}{9}+(2λ+1)^{2}}}$,解得$λ=\frac{1}{3}$或$λ=-\frac{4}{3}$,
∵λ>0,∴λ=$\frac{1}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足線面平行的實(shí)數(shù)的求法,考查線面角的正弦值的求法,考查滿足二面角的大小為$\frac{π}{4}$的實(shí)數(shù)值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | (4,+∞) | B. | $[3+2\sqrt{2}\;\;,\;\;+∞)$ | C. | [6,+∞) | D. | $(4\;\;,\;\;3+2\sqrt{2}]$ |
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40.02 | 40.00 | 39.98 | 40.00 | 39.99 |
40.00 | 39.98 | 40.01 | 39.98 | 39.99 |
40.00 | 39.99 | 39.95 | 40.01 | 40.02 |
39.98 | 40.00 | 39.99 | 40.00 | 39.96 |
分組 | 頻數(shù) | 頻率 | $\frac{頻率}{組距}$ |
[39.95,39.97) | 2 | ||
[39.97,39.99) | 4 | ||
[39.99,40.01) | 10 | ||
[40.01,40.03] | 4 | ||
合計(jì) |
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A. | (0,1) | B. | (0,+∞) | C. | (1,+∞) | D. | (-∞,0)∪(1,+∞) |
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