Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁且與x軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，直線AF₂與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C，若S_△ABC=3S${\;}_{△BC{F}_{2}}$，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 如圖所示，S_△ABC=3S${\;}_{△BC{F}_{2}}$，可得|AF₂|=2|F₂C|．A$（-c，\frac{^{2}}{a}）$，直線AF₂的方程為：y=$\frac{-^{2}}{2ac}$（x-c），代入橢圓方程可得：（4c²+b²）x²-2cb²x+b²c²-4a²c²=0，利用x_C×（-c）=$\frac{^{2}{c}^{2}-4{a}^{2}{c}^{2}}{4{c}^{2}+^{2}}$，解得x_C．根據(jù)$\overrightarrow{A{F}_{2}}=2\overrightarrow{{F}_{2}C}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵S_△ABC=3S${\;}_{△BC{F}_{2}}$，
∴|AF₂|=2|F₂C|．
A$（-c，\frac{^{2}}{a}）$，直線AF₂的方程為：y-0=$\frac{\frac{^{2}}{a}-0}{-c-c}$（x-c），
化為：y=$\frac{-^{2}}{2ac}$（x-c），代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得：（4c²+b²）x²-2cb²x+b²c²-4a²c²=0，
∴x_C×（-c）=$\frac{^{2}{c}^{2}-4{a}^{2}{c}^{2}}{4{c}^{2}+^{2}}$，解得x_C=$\frac{4{a}^{2}c-^{2}c}{4{c}^{2}+^{2}}$．
∵$\overrightarrow{A{F}_{2}}=2\overrightarrow{{F}_{2}C}$，
∴c-（-c）=2（$\frac{4{a}^{2}c-^{2}c}{4{c}^{2}+^{2}}$-c）．
化為：a²=5c²，
解得$e=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．