Question

11．設(shè)點A，B的坐標分別為（4，0），（-4，0），直線AP，BP相交于點P，且它們的斜率之積為實數(shù)m，關(guān)于點P的軌跡下列說法正確的是（　�。�

• A． 當m＜-1時，軌跡為焦點在x軸上的橢圓（除與x軸的兩個交點）
• B． 當-1＜m＜0時，軌跡為焦點在y軸上的橢圓（除與y軸的兩個交點）
• C． 當m＞0時，軌跡為焦點在x軸上的雙曲線（除與x軸的兩個交點）
• D． 當0＜m＜1時，軌跡為焦點在y軸上的雙曲線（除與y軸的兩個交點）

Answer 1

分析 把m＜-1代入mx²-y²=16m，軌跡為焦點在y軸上的橢圓（除與y軸的兩個交點），判斷A不正確，把-1＜m＜0代入mx²-y²=16m，軌跡為焦點在在x軸上的橢圓（除與x軸的兩個交點），判斷B不正確，把0＜m＜1代入mx²-y²=16m，軌跡為焦點在x軸上的雙曲線（除與x軸的兩個交點），判斷D不正確，設(shè)出P點坐標，由向量之積等于m列式，可得P的軌跡方程，核對四個選項得答案．

解答 解：設(shè)P（x，y），則${k}_{AP}=\frac{y-0}{x-4}$=$\frac{y}{x-4}$（x≠4），${k}_{BP}=\frac{y-0}{x-（-4）}=\frac{y}{x+4}$（x≠-4），
由k_BP•k_AP=m，得$\frac{y}{x+4}•\frac{y}{x-4}=m$，
∴mx²-y²=16m．
當m＞0時，方程化為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{16m}=1$（x≠±4），軌跡為焦點在x軸上的雙曲線（除與x軸的兩個交點）．
故選：C．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了軌跡方程的求法，屬中檔題．