Question

4．觀察下列等式：1³=1²，1³+2³=3²，1³+2³+3³=6²，1³+2³+3³+4³=10²…；
（1）根據(jù)上述規(guī)律，寫出第n個(gè)等式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中所寫的等式．

Answer 1

分析 （2）觀察可得${1^3}+{2^3}+{3^3}+…+{n^3}={\frac{{{n^2}（n+1）}}{4}^2}$，
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答 解：（1）根據(jù)上述規(guī)律，寫出第n個(gè)等式；${1^3}+{2^3}+{3^3}+…+{n^3}={\frac{{{n^2}（n+1）}}{4}^2}$或1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²
（2）證明如下，①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=$\frac{1}{4}$（1+1）²=1，
∴等式成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，即1³+2³+3³+…+k³=$\frac{1}{4}$k²（k+1）²．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³=$\frac{1}{4}$k²（k+1）²+（k+1）³，
=（k+1）²•（$\frac{{k}^{2}}{4}$+k+1）
=（k+1）²•$\frac{{k}^{2}+4k+4}{4}$
=$\frac{（k+1）^{2}（k+2）^{2}}{4}$
═$\frac{1}{4}$（k+1）²（k+1+1）²．
這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立，
根據(jù)①②，可知對(duì)n∈N^*等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法步驟，特別是②是關(guān)鍵，是核心，也是數(shù)學(xué)歸納法證明命題的難點(diǎn)所在，屬中檔題．