Question

13．函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}+ax（a∈R）$，$g（x）={e^x}+\frac{3}{2}{x^2}$．
（Ⅰ）討論f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若對(duì)于任意x∈（0，+∞），總有f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可；
（Ⅱ）分離參數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$a≤\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}$對(duì)于?x＞0恒成立，設(shè)$φ（x）=\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}（x＞0）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=x+\frac{1}{x}+a$，∵x＞0，∴f'（x）∈[a+2，+∞），
①當(dāng)a+2≥0，即a∈[-2，+∞）時(shí)，f'（x）≥0對(duì)?x＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）單調(diào)增，f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；
②當(dāng)a+2＜0，即a∈（-∞，-2）時(shí)，方程x²+ax+1=0有兩個(gè)不等正數(shù)解x₁，x₂，
$f'（x）=x+\frac{1}{x}+a=\frac{{{x^2}+ax+1}}{x}=\frac{{（x-{x_1}）（x-{x_2}）}}{x}（x＞0）$
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）增；
x∈（x₁，x₂）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）減；x∈（x₂，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）增，
所以x₁，x₂分別為f（x）極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)a∈[-2，+∞）時(shí)，f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)a∈（-∞，-2）時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅱ）f（x）≤g（x）?e^x-lnx+x²≥ax，由x＞0，
即$a≤\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}$對(duì)于?x＞0恒成立，
設(shè)$φ（x）=\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}（x＞0）$，$φ'（x）=\frac{{（{e^x}+2x-\frac{1}{x}）x-（{e^x}+{x^2}-lnx）}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）+lnx+（x+1）（x-1）}}{x^2}$，
∵x＞0，∴x∈（0，1）時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）減，
x∈（1，+∞）時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）增，
∴φ（x）≥φ（1）=e+1，
∴a≤e+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．