Question

10．已知A、B是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，若在雙曲線上存在點P滿足2|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|≤|$\overrightarrow{AB}$|，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（　　）

• A． 1＜e≤2
• B． e≥2
• C． 1＜e≤$\sqrt{2}$
• D． e≥$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用向量平行四邊形法則可得：$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=$2\overrightarrow{PO}$，又$|\overrightarrow{PO}|$≥a，根據(jù)雙曲線上存在點P滿足2|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|≤|$\overrightarrow{AB}$|，代入即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=$2\overrightarrow{PO}$，在雙曲線上存在點P滿足2|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|≤|$\overrightarrow{AB}$|，
∴$4|\overrightarrow{PO}|$≤2c，又$|\overrightarrow{PO}|$≥a，
∴2a≤c，解得e≥2．
故選：B．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、向量平行四邊形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．