Question

4．已知函數(shù)f（x）=（t+1）lnx+tx²+3t，t∈R．
（1）若t=0，求證：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x+1）≥x-$\frac{1}{2}$x²；
（2）若f（x）≥4x對(duì)任意x∈[1，+∞）恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的解析式，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明ln（x+1）≥x-$\frac{1}{2}$x²；令g（x）=ln（x+1）-x+$\frac{1}{2}$x²，（x≥0）；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（t+1）lnx+tx²+3t-4x≥0，令φ（x）=（t+1）lnx+tx²+3t-4x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍即可．

解答 解：（1）證明：t=0時(shí)，f（x）=lnx，f（x+1）=ln（x+1），
即證ln（x+1）≥x-$\frac{1}{2}$x²；
令g（x）=ln（x+1）-x+$\frac{1}{2}$x²，（x≥0）；
則g′（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$＞0，
∴g（x）在（0，+∞）遞增，
∴g（x）≥g（0）=0，
即l（x+1）≥x-$\frac{1}{2}$x²；
（2）由f（x）≥4x⇒（t+1）lnx+tx²+3t-4x≥0，
令φ（x）=（t+1）lnx+tx²+3t-4x，
首先由φ（1）≥0⇒t≥1，
此時(shí)φ′（x）=$\frac{2{tx}^{2}-4x+t+1}{x}$，
令h（x）=2tx²-4x+t+1，
∵t≥1，∴△=16-8t（t+1）＜0，
∴h（x）＞0恒成立，
即φ′（x）＞0，φ（x）在[1，+∞）遞增，
故φ（x）≥φ（1）=4t-4≥0，
綜上，t≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．