18.如圖,已知正四棱柱(底面為正方形,側(cè)棱與底面垂直)ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱長(zhǎng)為4,連結(jié)A1B,過A作AF⊥A1B垂足為F,且AF的延長(zhǎng)線交B1B于E.
(Ⅰ)求證:AE⊥D1B;
(Ⅱ)求三棱錐B-AEC的體積.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出A1D1⊥AE,AE⊥A1B,從而AE⊥平面A1D1B,由此能證明AE⊥D1B.
(Ⅱ)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,三棱錐B-AEC的體積VB-AEC=VE-ABC,由此能求出結(jié)果.

解答 證明:(Ⅰ)∵正四棱柱(底面為正方形,側(cè)棱與底面垂直)
ABCD-A1B1C1D1中,A1D1⊥平面ABB1A1,
AE?平面ABB1A1,
∴A1D1⊥AE,
∵過A作AF⊥A1B垂足為F,且AF的延長(zhǎng)線交B1B于E,∴AE⊥A1B,
∵A1D1∩A1B=A1,∴AE⊥平面A1D1B,
∵D1B?平面A1D1B,∴AE⊥D1B.
解:(Ⅱ)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,
DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(3,0,0),B(3,3,0),A1(3,0,4),
設(shè)E(3,3,t),
$\overrightarrow{AE}$=(0,3,t),$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=(0,3,-4),
∵AE⊥A1B,∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}B}$=9-4t=0,解得t=$\frac{9}{4}$,
∴BE=$\frac{9}{4}$,
∴三棱錐B-AEC的體積:
VB-AEC=VE-ABC=$\frac{1}{3}×BE×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×BE×(\frac{1}{2}×AB×BC)$
=$\frac{1}{3}×\frac{9}{4}×\frac{1}{2}×3×3$=$\frac{27}{8}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查三棱錐的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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