Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）證明：f（x）≥f（0）；
（2）若?x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，求出f（x）的最小值，即可證明結論；
（2）?x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，即?x∈R，不等式2[|x+2|+|x-1|]≥|a+3|+|a|恒成立，可得|a+3|+|a|≤6，分類討論求實數(shù)a的取值范圍．

解答 （1）證明：f（x）=|x+2|+|x-1|，
x≤-2時，f（x）=-x-2-x+1=-2x-1≥3，
-2＜x＜1時，f（x）=x+2-x+1=3，
x≥1時，f（x）=x+2+x-1=2x+1≥3，
∴f（x）≥3=f（0）；
（2）解：?x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，即?x∈R，不等式2[|x+2|+|x-1|]≥|a+3|+|a|恒成立，
∴|a+3|+|a|≤6，
a≤-3時，-a-3-a≤6，∴a≥-4.5，∴-4.5≤a≤-3，
-3＜a＜0時，a+3-a≤6，成立；
a≥0時，a+3+a≤6，∴a≤1.5，∴0≤a≤1.5，
綜上所述，-4.5≤a≤1.5．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，考查恒成立問題、最值問題，是一道中檔題．