【題目】如圖,,分別是通過(guò)某城市開(kāi)發(fā)區(qū)中心O的兩條東西和南北走向的街道,連接M,N兩地間的鐵路是圓心在上的一段圓弧.若點(diǎn)M在點(diǎn)O正北方向,且,點(diǎn)N,的距離分別為5km和4km

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求鐵路路線所在圓弧的方程.

(2)若該城市的某中學(xué)擬在點(diǎn)O正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問(wèn)題,要求校址到點(diǎn)O的距離大于4km,并且鐵路上任意一點(diǎn)到校址的距離不能小于km,求該校址距點(diǎn)O的最近距離.

【答案】(1);(2)校址選在距離O為5km的地方最近

【解析】

(1)由已知得以x軸、y軸,O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,得出M,N的坐標(biāo),鐵路路線所在圓弧所在的圓的圓心既在x軸上,又在直線MN的垂直平分線上,由此可求出圓心的坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)的距離求出半徑,從而得出鐵路路線所在圓弧的方程.

(2)設(shè)出校址的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式列出不等式,再利用(1)小問(wèn)中求出的圓弧的方程代換掉不等式中的y,得出關(guān)于x的不等式,再將所得的不等式設(shè)成關(guān)于x的一次函數(shù),利用一次函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于a的不等式,得解.

(1)如圖,分別以,x軸、y軸,O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系.則,,故MN的中點(diǎn)為

線段MN的垂直平分線方程為

由于圓心既在線段MN的垂直平分線方程上,又在x軸上,

所以令直線方程中,得

故圓心,A的方程為MN的方程為

(2)設(shè)校址選在,則對(duì)恒成立.整理,得對(duì)恒成立.令

,

函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).

,即,解得,即校址選在距離O為5km的地方最近.

故得解.

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