Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1（{x≤0}）\\ f（{x-1}）+1（{x＞0}）\end{array}\right.$，把函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)的順序排列成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（　　）

• A． ${a_n}=\frac{{n（{n-1}）}}{2}$
• B． a_n=n（n-1）
• C． a_n=n-1
• D． ${a_n}={2^n}-2$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的定義，構(gòu)造兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)，再通過數(shù)列及通項(xiàng)公式的概念得所求的解．

解答 解：當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，
由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x=x+1．
令y=2^x，y=x+1．
在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間
（-∞，0]上的圖象，
由圖象易知交點(diǎn)為（0，1），
故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=0．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，x-1∈（-1，0]，
f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-1，
由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x-1=x．
令y=2^x-1，y=x．
在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（0，1]上的圖象，由圖象易知交點(diǎn)為（1，1），
故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=1．
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-2+1，
由g（x）=f（x）-x=2^x-2+1-x=0，得2^x-2=x-1．令y=2^x-2，y=x-1．
在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（1，2]上的圖象，
由圖象易知交點(diǎn)為（2，1），故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=2．
依此類推，當(dāng)x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]時(shí)，
構(gòu)造的兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)依次為（3，1），（4，1），…，（n+1，1），
得對應(yīng)的零點(diǎn)分別為x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零點(diǎn)從小到大依次排列為0，1，2，…，n+1．其對應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=n-1．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念及零點(diǎn)的求法、數(shù)列的概念及簡單表示；培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力；解題中使用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想