Question

8．在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F(xiàn) 分別為
AB，AC 的中點(diǎn)，以A 為圓心，AD為半徑的圓弧DE中點(diǎn)為P （如圖所示）．
若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{ED}+μ\overrightarrow{AF}$，其中λ，μ∈R，則λ+μ的值是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 建立如圖所示直角坐標(biāo)系，求出λ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，μ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則A（0，0），
B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，0），
F（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
所以$\overrightarrow{ED}$=（-1，1），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{ED}+μ\overrightarrow{AF}$=（-λ+$\frac{3}{2}$μ，λ+$\frac{1}{2}μ$），
又因?yàn)橐訟 為圓心，AD為半徑的圓弧DE中點(diǎn)為P，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
所以-λ+$\frac{3}{2}$μ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，λ+$\frac{1}{2}μ$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以λ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，μ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以λ+μ=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$
故選B．

點(diǎn)評 本題考查向量知識的運(yùn)用，考查坐標(biāo)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．