Question

12．等比數(shù)列中，首項(xiàng)a₁=2，a₄=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)數(shù)列b_n=lga_n，證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列并求前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₁=2，a₄=16．可得2q³=16，解得q，即可得出．
（2 ）b_n=lga_n=n．n≥2時(shí)，作差b_n-b_n-1，即可證明．

解答 （1）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁=2，a₄=16．
∴2q³=16，解得q=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2 ）證明：b_n=lga_n=n．
n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=n-（n-1）=1．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1．
前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．