Question

6．已知函數(shù)f（x）=alnx-（a+1）x-$\frac{1}{x}$
（1）當(dāng)a＜-1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）的圖象恒在f（x）的圖象上方
（3）證明：$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

分析 （1）由已知得x＞0，f′（x）=$\frac{a}{x}$-（a+1）+$\frac{1}{{x}^{2}}$，根據(jù)a=-2，-1＜a＜-2，a＞-2，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分類討論，能求討論f（x）的單調(diào)性．
（2）a=1時(shí)，f（x）=lnx-2x-$\frac{1}{x}$，g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，F(xiàn)′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出f（x）＜g（x）恒成立，由此能證明g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方
（3）由lnx-x+1≤0 （x＞0），設(shè)K（x）=lnx-x+1，則K′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$．從而$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{1}{x}$．令x=n²，得 $\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}≤1-\frac{1}{{n}^{2}}$，從而$\frac{lnn}{{n}^{2}}≤\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{n}^{2}}）$，由此能證明$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N^*，n≥2）

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=alnx-（a+1）x-$\frac{1}{x}$，
∴x＞0，f′（x）=$\frac{a}{x}$-（a+1）+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{-（a+1）{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}}$，
∵a＜-1，由f′（x）＞0，得[-（a+1）x-1]（x-1）＞0，
當(dāng)a=-2時(shí)，由f′（x）＞0，得x≠1，增區(qū)間為（-∞，1]，[1，+∞），無減區(qū)間；
當(dāng)-1＜a＜-2時(shí)，由f′（x）＞0得，x＞-$\frac{1}{a+1}$或x＜1，增區(qū)間為（0，1]，[-$\frac{1}{a+1}$，+∞），減區(qū)間為[1，-$\frac{1}{a+1}$]；
當(dāng)a＞-2時(shí)，由f′（x）＞0得，x＜-$\frac{1}{a+1}$或x＞1，增區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a+1}$]，[1，+∞），減區(qū)間為[-$\frac{1}{a+1}$，1]．
證明：（2）a=1時(shí)，f（x）=lnx-2x-$\frac{1}{x}$，g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，F(xiàn)′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0
∴F（x）≤F（1）=0，即f（x）＜g（x）恒成立，
∴g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方．
（3）由（2）知lnx-x+1≤0 （x＞0），
設(shè)K（x）=lnx-x+1，則K′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，k′（x）＞0，∴k（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，∞）時(shí)，k′（x）＜0，∴k（x）為單調(diào)遞減函數(shù)；
∴x=1為k（x）的極大值點(diǎn)，∴k（x）≤k（1）=0． 即lnx-x+1≤0，∴l(xiāng)nx≤x-1．
由上知 lnx≤x-1，又x＞0，∴$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{1}{x}$．
∵n∈N₊，n≥2，令x=n²，得 $\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}≤1-\frac{1}{{n}^{2}}$，∴$\frac{lnn}{{n}^{2}}≤\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{n}^{2}}）$，
∴$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{2}}+1-\frac{1}{{3}^{2}}+…+1-\frac{1}{{n}^{2}}$）
=$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$）]
＜$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$）]
=$\frac{1}{2}[n-1-（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{2}[n-1-（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N^*，n≥2）
∴$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N^*，n≥2）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方的證明，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法的合理運(yùn)用．