Question

【題目】已知函數(shù) ， ，其中
（1）設(shè)函數(shù) ，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在 ，使得 成立，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

①當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，在 上 ，在 上

所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增；

②當(dāng) ，即 時(shí)，在 上 ，

所以，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增

（2）解：若存在 ，使得 成立，即存在 ，使得 ，即函數(shù) 在 上的最小值小于零.

由（1）可知：

①當(dāng) ，即 時(shí)， ， 的 上單調(diào)遞減，

所以 的最小值為 ，

由 可得 ，

因?yàn)? ，所以 .

②當(dāng) ，即 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，

所以 最小值為 ，由 可得 .

③當(dāng) ，即 時(shí)，可得 的最小值為 ，

因?yàn)? ，所以， ，故 ，不合題意

綜上可得所求 的范圍是

【解析】（1）含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性研究，通常要對參數(shù)的值進(jìn)行分類討論。
（2）對于存在性問題與恒成立問題是有區(qū)別的，本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值小于零即可。
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．