Question

18．2015年12月，華中地區(qū)數(shù)城市空氣污染指數(shù)“爆表”，此輪污染為2015年以來最嚴(yán)重的污染過程，為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如表：

時(shí)間	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日
車流量x（萬輛）	1	2	3	4	5	6	7
PM2.5的濃度y（微克/立方米）	28	30	35	41	49	56	62

（1）由散點(diǎn)圖知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（提示數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}=1372}$）
（2）（I）利用（1）所求的回歸方程，預(yù)測該市車流量為12萬輛時(shí)PM2.5的濃度；（II）規(guī)定：當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在（0，50]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在（50，100]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為良，為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量不超過多少萬輛？（結(jié)果以萬輛為單位，保留整數(shù)）參考公式：回歸直線的方程是$\widehaty=\widehatbx+\widehata$，其中$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （1）求回歸系數(shù)，即可求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）（I）當(dāng)車流量為12萬輛時(shí)，即x=12時(shí)，$\hat y=6×12+19=91$；（II）根據(jù)題意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由數(shù)據(jù)可得：$\overline{x}=\frac{1}{7}（1+2+3+4+5+6+7）=4$，$\overline{y}=\frac{1}{7}（28+30+35+41+49+56+62）=43$，$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}=1372}，\sum_{i=1}^7{{x_i}^2=140}$，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x•\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{1372-1204}{140-112}=6$，$\hat a=\bar y-\hat bx=43-4×6=19$，
故y關(guān)于x的線性回歸方程為$\hat y=6x+19$．
（2）（ⅰ）當(dāng)車流量為12萬輛時(shí)，即x=12時(shí)，$\hat y=6×12+19=91$．
故車流量為12萬輛時(shí)，PM2.5的濃度為91微克/立方米．
（II）根據(jù)題意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，
故要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或?yàn)榱迹瑒t應(yīng)控制當(dāng)天車流量在13萬輛以內(nèi)．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查回歸方程，考查回歸方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．