Question

8．（理科）設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，AC=BC=1，CD=$\sqrt{2}$，
求（1）AC與平面BCD所成角的大小；
（2）二面角A-BC-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）由已知得BD=$\sqrt{3}$，OB=OC=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AO⊥平面BCD，AC與平面BCD所成角為∠ACO，由此能求出AC與平面BCD所成角的大小為30°．
（2）由已知得AO=$\frac{1}{2}$，AB=AC=1=BC，取BC中點(diǎn)E，則∠AEO是二面角A-BC-D的平面角，由此能求出二面角A-BC-D的正切值．

解答 解：（1）如圖，∵Rt△BCD中，BC=1，CD=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$，
∵O是Rt△BCD斜邊中點(diǎn)，∴OB=OC=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，
∴AO⊥平面BCD，
∴AC與平面BCD所成角為∠ACO，
∵cos=$\frac{CO}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠ACO=30°，
∴AC與平面BCD所成角的大小為30°．
（2）由（1）得AO=$\frac{1}{2}$，AB=AC=1=BC，∴△ABC是正三角形
取BC中點(diǎn)E，則AE⊥BC，OE⊥BC，
AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OE=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則∠AEO是二面角A-BC-D的平面角，tan∠AEO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴二面角A-BC-D的大小為arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．