12.四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=$\sqrt{2}$,E,F(xiàn)為PD上兩點,且PF=ED=$\frac{1}{3}$PD.
(1)求證:BF∥面ACE;
(2)求異面直線PC與AE所成角的余弦值;
(3)求二面角P-AC-E的余弦值.

分析 (1)連接BD交AC與O,連接OE,可得EO∥BF,進而由線面垂直的判定定理可得:BF∥面ACE;
(2)以A為坐標原點,AB,AD,AP分別為x,y,z軸正方向建立空間坐標系數(shù)O-xyz,求出直線PC與AE的方向向量,代入夾角公式,可得異面直線PC與AE所成角的余弦值;
(3)求出平面PAC和ACE的法向量,代入向量夾角公式,可得二面角P-AC-E的余弦值.

解答 證明:(1)連接BD交AC與O,連接OE,

∵PF=ED=$\frac{1}{3}$PD.
∴ED=FE,
∴EO∥BF,
∵EO?面ACE,BF?面ACE;
∴BF∥面ACE;
解:(2)以A為坐標原點,AB,AD,AP分別為x,y,z軸正方向建立空間坐標系數(shù)O-xyz,

則B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),C(1,1,0),F(xiàn)(0,$\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}$),E(0,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),
則$\overrightarrow{CP}$=(-1,-1,1),$\overrightarrow{AE}$=(0,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),
設異面直線PC與AE所成角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AE}|}{\left|\overrightarrow{CP}\right|•\left|\overrightarrow{AE}\right|}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$,
(3)設平面ACE的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0\end{array}\right.$得:$\left\{\begin{array}{l}a+b=0\\ \frac{2}{3}b+\frac{1}{3}c=0\end{array}\right.$,
令a=1,則$\overrightarrow{m}$=(1,-1,2),
∵DB⊥平面PAC,
∴$\overrightarrow{DB}$=(1,-1,0)即為平面PAC的一個法向量,
故銳二面角P-AC-E的余弦值cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}|}{\left|\overrightarrow{m}\right|•\left|\overrightarrow{DB}\right|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 本題考查的知識點是線面平行的判定定理,直線與平面的夾角,二面角的平面角,難度中檔.

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