Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值及x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)增區(qū)間即可．
（2）利用正弦函數(shù)的最值求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$…．（2分）
∴$函數(shù)f（x）的最小正周期T=\frac{2π}{2}=π$…．（3分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]（k∈Z）$…（6分）．
（2）函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1≥-2+1=-1．
函數(shù)的最小值為：-1．…8分
當(dāng)且僅當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ$-\frac{π}{2}$，k∈Z時取最小值．
即x=kπ$-\frac{π}{3}$，k∈Z．…10分．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的周期的求法，函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．