Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)$P（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$作傾斜角為α的直線L與曲線C：x²+y²=1相交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（1）若以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，寫出C的極坐標(biāo)方程和直線L的參數(shù)方程；
（2）求$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由曲線C：x²+y²=1，可得極坐標(biāo)方程：ρ²=1．由題意可得直線L的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+tcosα}\\{y=\frac{3}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）把直線L的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程可得：t²$（\sqrt{3}cosα+3sinα）$t+2=0，由△＞0，可得$|sin（α+\frac{π}{6}）|$＞$\frac{\sqrt{6}}{3}$．于是$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 解：（1）由曲線C：x²+y²=1，可得極坐標(biāo)方程：ρ²=1，即ρ=1．
直線L的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+tcosα}\\{y=\frac{3}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）把直線L的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程可得：t²$（\sqrt{3}cosα+3sinα）$t+2=0，
由△＞0，可得$|sin（α+\frac{π}{6}）|$＞$\frac{\sqrt{6}}{3}$．t₁t₂=2．
∴$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{|\sqrt{3}cosα+3sinα|}{2}$=$\sqrt{3}$$|sin（α+\frac{π}{6}）|$∈$（\sqrt{2}，\sqrt{3}]$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)求值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．