Question

19．如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，VA=VB=4，AC=BC=2且AC⊥BC，O，M分別為AB，VA的中點．
（1）求證：VB∥平面MOC；
（2）求證：平面MOC⊥平面VAB；
（3）求三棱錐V-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出OM∥VB，由此能證明VB∥平面MOC．
（2）推導(dǎo)出CO⊥AB，從而CO⊥平面VAB，由此能證明平面MOC⊥平面VAB．
（3）三棱錐V-ABC的體積V_V-ABC=V_C-VAB，由此能求出結(jié)果．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）∵O，M分別為AB，VA的中點，
∵OM∥VB，
又VB?平面MOC，MO?平面MOC，
∴VB∥平面MOC． …（4分）
（2）∵AC=BC，且O是AB的中點，
∴CO⊥AB
又平面VAB⊥平面ABC，
∴CO⊥平面VAB，
又CO?平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB．…（8分）
解：（3）∵AC⊥BC，且AC=BC=2，
∴$AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=2\sqrt{2}$，
連VO，又VA=VB=4，所以$VO=\sqrt{V{A^2}-A{O^2}}=\sqrt{14}$，
由（2）知：CO⊥平面VAB，
∴三棱錐V-ABC的體積：
${V_{V-ABC}}={V_{C-VAB}}=\frac{1}{3}{S_{△VAB}}CO=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{14}×\sqrt{2}=\frac{{2\sqrt{14}}}{3}$． …（12分）

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．