Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=xe^a-x+bx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=（e-1）x+4．
（1）求a，b的值；    
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線斜率以及f（2），建立方程組關(guān)系即可求a，b的值；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=（e-1）x+4，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=2（e-1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，
同時(shí)f′（2）=e-1，
∵f（x）=xe^a-x+bx，
∴f′（x）=e^a-x-xe^a-x+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=2{e}^{a-2}+2b=2e+2}\\{f′（2）={e}^{a-2}-2{e}^{a-2}+b=e-1}\end{array}\right.$，
即a=2，b=e；
（2）∵a=2，b=e；
∴f（x）=xe^2-x+ex，
∴f′（x）=e^2-x-xe^2-x+e=（1-x）e^2-x+e，
f″（x）=-e^2-x-（1-x）e^2-x=（x-2）e^2-x，
由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，
即當(dāng)x=2時(shí)，f′（x）取得極小值f′（2）=（1-2）e^2-2+e=e-1＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
即f（x）的單調(diào)區(qū)間是（-∞，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線斜率建立方程關(guān)系以及利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．