Question

12．已知函數(shù)f（x）=（x+a）lnx，g（x）=$\frac{x^2}{e^x}$．已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x-y=0平行．
（1）求a的值；
（2）證明：方程f（x）=g（x）在（1，2）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得x=1處切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程即可得到所求值．
（2）令$h（x）=f（x）-g（x）=（x+1）lnx-\frac{x^2}{e^x}$，x∈（1，2），由$h（1）=-\frac{1}{e}＜0$，$h（2）=3ln2-\frac{4}{e^2}＞0$，可得函數(shù)h（x）在（1，2）內(nèi)一定有零點(diǎn)，進(jìn)而證明h′（x）＞0，可得h（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，即可得證．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）$f'（x）=lnx+\frac{a}{x}+1$，
由題意知，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2，
則f'（1）=2，
所以a+1=2，解得a=1．…（4分）
（2）令$h（x）=f（x）-g（x）=（x+1）lnx-\frac{x^2}{e^x}$，x∈（1，2），
則$h（1）=-\frac{1}{e}＜0$，$h（2）=3ln2-\frac{4}{e^2}＞0$，
所以h（1）h（2）＜0，
所以函數(shù)h（x）在（1，2）內(nèi)一定有零點(diǎn)，…（8分）
可得$h'（x）=lnx+\frac{x+1}{x}-\frac{{2x-{x^2}{e^x}}}{{{{（{e^x}）}^2}}}=lnx+\frac{1}{x}+1-\frac{{-{{（x-1）}^2}+1}}{e^x}＞1-\frac{1}{e}＞0$，
∴h（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)h（x）在（1，2）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程f（x）=g（x）在（1，2）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，考查函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．